RELACION c-a EN CELDILLA HEXAGONAL COMPACTA (HCP)

Para empezar esta demostración tenemos que definir la altura del HCP siendo igual a “c”. Cada uno de los lados del hexágono que se encuentran en los planos superior e inferior será igual a “a”. Analizando la estructura se puede observar que se puede dividir en tres sub estructuras iguales, con lo que se procede a realizar el análisis de los triángulos internos.
La celda HCP posee 6 átomos, tres forman un triángulo en la capa intermedia, existen 6*1/6 secciones de átomos localizados en las capas de arriba y de abajo, haciendo un equivalente a 2 átomos más, finalmente existen 2 mitades de átomo en el centro de ambas capas superior e inferior, haciendo el equivalente de un átomo más.

Teniendo en consideración que al dividir la estructura los triángulos obtenidos son equiláteros (lo que nos dice que sus lados son todos iguales) y tendrán un valor de “a” sus lados. Sumado a esto, se asume el principio de “esfera rígida” donde el punto “e” se encuentra equidistante de los planos superior e inferior y también se encuentra a c/2 de dichos planos y la distancia de:  ef = eh = fh = fg = gh = eg = a = 2r

Si analizamos el tetraedro formado por los puntos “e”, “f”, “h” y “g” se tiene la proyección de “e” la cual se llamará “i” y lo consideraremos como el baricentro del triángulo “fhg”.

Como “i” es el baricentro, el segmento fi es la bisectriz del ángulo “fhg” que tiene un valor de 60° por ser un triángulo equilátero, entonces decimos que:

Como “i” es el baricentro “im” es la mediana del segundo segmento fg y “m” el punto medio entonces nos queda que fm = mg = a/2 y el ángulo imf = 90°.

Aplicamos entonces:

Se aplica Pitágoras  al triángulo formado en “fei” y sustituimos en la ecuación para obtener:

La relación de la altura c del prisma hexagonal de la estructura cristalina HCP al lado de la base a, se llama relación c/a. La relación c/a de una estructura cristalina HCP ideal es de 1.633.

Esta relación indica esferas uniformes tan próximas como sea posible. Los metales Cinc, Cadmio poseen una relación c/a más alta que la ideal, lo que indica que los átomos en estas estructuras están ligeramente elongados a lo largo del eje c en la celda unidad HCP. Los metales como el Titanio, Berilio, Magnesio Y Circonio entre otros tienen relaciones c/a menores que la ideal. Por tanto en estos metales los átomos están comprimidos a lo largo de la dirección del eje c.

En la tabla se muestran algunos HCP importantes y sus relaciones c/a.